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逻辑门：NOT、AND、OR、NAND、NOR、XOR 和 XNOR
阅读约 7 分钟 · bitGateLab 团队
所有的数字电路，从红绿灯到处理器，都是由少数几种用 0 和 1 做判断的基本单元搭建起来的，这些单元就是逻辑门。本文将带你认识七种基本逻辑门：它们怎么画、在布尔代数中怎么写，以及各自的真值表是什么样的。最后你会看到，为什么只用一种门（NAND 或 NOR）就能搭出其余所有的门。
逻辑电平：0 和 1 代表什么
在数字电路中，每个信号只能处于两种状态之一。低电压（接近 0 V）称为逻辑 0，即“假”；高电压（接近电源电压，例如 5 V 或 3.3 V）称为逻辑 1，即“真”。逻辑门接收一个或多个输入，给出一个输出，而这个输出只取决于各输入当前的取值：它什么也不记忆。因此我们说，逻辑门构成的是组合逻辑。
描述一个逻辑门最完整的方式是它的真值表：把输入的所有可能组合一一列出，并给出每种组合对应的输出。n 个输入共有 2n 种组合，所以两输入的门有 4 行，三输入的门有 8 行。
三种基本逻辑门
NOT（非门，即反相器）
它只有一个输入，输出与输入相反：输入 0 则输出 1，输入 1 则输出 0。写作 Y = A（你也会见到 A' 或 ¬A 的写法）。它的符号是一个尖端带小圆圈的三角形；这个小圆圈是通用的标记，表示“此处取反”。
| A | Y = A |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
AND（与门）
只有当所有输入都为 1 时，输出才为 1。它写成乘积的形式：Y = A·B，或者简写为 Y = AB。可以把它想象成两个串联的开关：只有两个开关都闭合，灯才会亮。
OR（或门）
只要至少有一个输入为 1，输出就为 1。它写成加法的形式：Y = A + B，相当于两个并联的开关。注意：在布尔代数中 1 + 1 = 1，而不是 2。
派生逻辑门：NAND、NOR、XOR 和 XNOR
NAND（与非门）是 AND 后面接一个反相器：Y = AB。只有当所有输入都为 1 时，它的输出才为 0。NOR（或非门）是取反的 OR：Y = A + B，只有当所有输入都为 0 时才输出 1。在符号上，两者的输出端都带有小圆圈。
XOR（异或门）在两个输入不同时输出 1：Y = A ⊕ B = AB + AB。输入多于两个时，XOR 在 1 的个数为奇数时输出 1，因此常用来计算奇偶校验位。XNOR（同或门）是它的反，Y = A ⊕ B = AB + A B，在两个输入相同时输出 1：它就是一个一位的相等比较器。
下面是六种两输入逻辑门合在一起的真值表：
| A | B | AND | OR | NAND | NOR | XOR | XNOR |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
例：计算一个小电路的输出。求 Y = (A + B) · C 在 A = 0，B = 1，C = 1 时的值。
- OR：A + B = 0 + 1 = 1。
- 取反：1 = 0。
- 与 C 做 AND：0 · 1 = 0。
结果：Y = 0。当 A = 0，B = 0，C = 1 时，OR 得 0，反相器得 1，AND 得 1，所以 Y = 1。
NAND 和 NOR：通用逻辑门
如果只用某一种门的若干个副本就能搭出 NOT、AND 和 OR，进而实现任意逻辑函数，这种门就称为通用逻辑门。NAND 和 NOR 都具有这一性质。这带来一个很实际的好处：芯片制造商可以只生产一种单元，用它搭出整个设计；而你也可以只用一片 74HC 系列的芯片完成整个电路（例如 74HC00 内含四个两输入 NAND 门）。
全部用 NAND 实现
- NOT：把一个 NAND 门的两个输入接在一起。若 A 同时接到两个输入，则 A·A = A。
- AND：一个 NAND 门后面再接一个当作反相器用的 NAND 门：AB = AB。
- OR：先用 NAND 门把每个输入各自取反，再把它们送入第三个 NAND 门：A·B = A + B（根据德摩根定理）。
全部用 NOR 实现
- NOT：把一个 NOR 门的输入接在一起：A + A = A。
- OR：一个 NOR 门后面再接一个当作反相器用的 NOR 门。
- AND：先用 NOR 门把每个输入各自取反，再把它们送入另一个 NOR 门：A + B = AB。
例：用四个 NAND 门实现 XOR。设 N1 = AB，N2 = A·N1，N3 = B·N1，Y = N2·N3。逐一检查四种情况：
| A | B | N1 | N2 | N3 | Y |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Y 这一列与 XOR 的那一列完全一致。四个门，只需一片芯片。
常见错误
- 以为在 OR 门里 1 + 1 = 2。在布尔逻辑中，加法是“饱和”的：1 + 1 = 1。
- 把 AB（NAND，一条横线盖住整体）和 A B（两条分开的横线，相当于 NOR）混为一谈。横线的长短会改变结果。
- 以为三输入 XOR 是“只有一个输入为 1 时”才输出 1。实际上，只要 1 的个数为奇数它就输出 1，这也包括 1、1、1 的情况。
- 在实际的 CMOS 芯片上让输入悬空。悬空的输入可能被随机读成 0 或 1；应把它接地或接到电源。
在模拟器中试一试
记住这些真值表的最好办法，就是亲手把它们生成出来。在电路编辑器中，你可以放一个逻辑门，改变它的输入，立刻看到输出；然后再与工具算出的真值表对照。
- 放置两个输入、一个 NAND 门和一个输出，并把它们连接起来。
- 把输入依次切换成四种组合，记下每种情况下的输出。
- 生成该电路的真值表，并与本文中的真值表比较。
- 按例子搭出用四个 NAND 门实现的 XOR，验证它的真值表与单个 XOR 门的一致。
- 如果想把它搬到虚拟面包板上，就放一片 74HC 系列的 NAND 芯片，给它接上电源，然后观察输出端的 LED。
练习
- 写出 Y = A + B 的真值表。
答案
当 AB = 00、01、10、11 时，输出依次为 1、0、1、1。只有当 A = 0 且 B = 1 时输出为 0。
- 4 输入 AND 门的真值表有多少行？其中有几行输出为 1？
答案
24 = 16 行；只有一行（1111）输出为 1。
- 求三输入 XOR 门在 A = 1，B = 1，C = 1 时的输出。
答案
1 ⊕ 1 = 0，0 ⊕ 1 = 1。输出为 1，因为有三个 1（奇数个）。
- 按照这种方法，至少需要几个 NOR 门才能构成一个两输入 AND 门？
答案
三个：两个 NOR 门用作反相器（一个给 A，一个给 B），第三个 NOR 门接收 A 和 B，其输出为 A + B = AB。
要对由这些门组成的表达式进行变换和化简，请继续学习布尔代数。