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布尔代数：基本定律、德摩根定理与化简
阅读约 7 分钟 · bitGateLab 团队
布尔代数是描述和变换数字电路所用的语言。每个表达式都对应一种逻辑门的接法，而你在化简时每用一条定律，就意味着省下若干个门。本文将带你复习基本公理、最常用的定律、德摩根定理，以及如何一步一步地化简表达式，并为每一步给出依据。
变量与运算
布尔变量只能取 0 和 1 两个值。基本运算有三种：取反（A，NOT 门）、逻辑乘（A·B 或 AB，AND 门）和逻辑加（A + B，OR 门）。没有括号时，运算的优先顺序是：先取反，再乘，最后加。因此 A + BC 表示 A + (B·C)，与普通代数一样。
基本公理
整个布尔代数建立在少数几条公理之上。注意它们是成对出现的：一条针对加法，一条针对乘法。
| 公理 | 加法形式 | 乘法形式 |
|---|---|---|
| 自等律 | A + 0 = A | A · 1 = A |
| 交换律 | A + B = B + A | AB = BA |
| 分配律 | A + BC = (A + B)(A + C) | A(B + C) = AB + AC |
| 互补律 | A + A = 1 | A · A = 0 |
常用定律和定理
由公理可以推出下面这些规则，它们是你化简时用得最多的：
| 定律 | 加法形式 | 乘法形式 |
|---|---|---|
| 重叠律 | A + A = A | AA = A |
| 零一律 | A + 1 = 1 | A · 0 = 0 |
| 还原律 | A = A | |
| 结合律 | A + (B + C) = (A + B) + C | A(BC) = (AB)C |
| 吸收律 | A + AB = A | A(A + B) = A |
| 消因子律 | A + AB = A + B | A(A + B) = AB |
| 并项律 | AB + AB = A | (A + B)(A + B) = A |
| 共识定理（冗余律） | AB + AC + BC = AB + AC | (A + B)(A + C)(B + C) = (A + B)(A + C) |
这些定律中的任何一条都可以用真值表来验证：如果两列在所有行上都相同，等式就成立。例如 A + AB = A：当 A = 0 时，无论 B 取何值，两边都为 0；当 A = 1 时，两边都为 1。消因子律可以这样证明：A + AB = (A + A)(A + B) = 1·(A + B) = A + B，这里用到了加对乘的分配律。
德摩根定理
这两条定理告诉你如何把一条长横线“断开”：
- A · B = A + B（乘积的反等于各变量之反的和）。
- A + B = A · B（和的反等于各变量之反的乘积）。
实用口诀：断开横线时，把横线下面的运算换掉（· 换成 +，或 + 换成 ·），并对每一项取反。它对任意多个变量都适用：ABC = A + B + C。
| A | B | AB | A + B | A + B | AB |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
在电路上，德摩根定理说明：NAND 门等效于输入端带小圆圈的 OR 门，NOR 门等效于输入端带小圆圈的 AND 门。这正是把任何设计转换成只用 NAND 或只用 NOR 的基础，详见逻辑门一文。
例 1：应用德摩根定理。化简 F = AB + C。
- 长横线盖住的是一个和：AB + C = AB · C。
- 断开乘积上的横线：AB = A + B。
- 结果：F = (A + B)C = AC + BC。
用 A = 1，B = 1，C = 0 验证：原式得 1 + 0 = 0；化简结果得 (0 + 0)·1 = 0。用 A = 0，B = 1，C = 0 验证：原式 0 + 0 = 1；化简结果 (1 + 0)·1 = 1。
一步一步进行代数化简
化简就是减少项数和文字数（文字指变量的每一次出现，不论是否取反）。文字越少，门的输入端就越少。纯代数方法没有一套唯一的算法，但下面这些技巧几乎总能奏效：
- 找出只有一个变量不同的成对的项，应用并项律。
- 提取公因子，找出隐藏的 A + A = 1。
- 如果某一项已被另一项包含，就用吸收律把它消去。
- 可以把某一项重复写一遍（重叠律），让它分别与两个不同的相邻项合并。
例 2。化简 F = AB + AB + AB。
- 对前两项提取公因子：AB + AB = A(B + B) = A·1 = A。
- 于是 F = A + AB。
- 消因子律：A + AB = A + B。
F = A + B。原来需要三个 AND 门、一个三输入 OR 门和两个反相器，现在只要一个 OR 门。
例 3：多数表决函数。化简 F = ABC + ABC + ABC + ABC。
- 根据重叠律，ABC = ABC + ABC + ABC。写出三份，让每一份分别与一个相邻项合并。
- ABC + ABC = BC(A + A) = BC。
- ABC + ABC = AC(B + B) = AC。
- ABC + ABC = AB(C + C) = AB。
F = AB + AC + BC。只要三个输入中至少有两个为 1，它就输出 1：这是一个表决电路。你以后会看到，它也是全加器的进位输出。
例 4：加对乘的分配律。化简 F = (A + B)(A + C)。
- 展开相乘：AA + AC + AB + BC = A + AC + AB + BC。
- 提取 A：A(1 + C + B) + BC。
- 零一律：1 + C + B = 1，于是得到 A + BC。
这正是把加对乘的分配律公理反过来读。
常见错误
- 应用德摩根定理时忘了改变运算：AB 不是 AB，而是 A + B。
- 像普通代数那样“消去”项。布尔代数里没有减法和除法：由 A + B = A + C 不能推出 B = C。
- 忘记优先级：A + BC 不是 (A + B)C。
- 只断开长横线的一部分。AB + C 上的横线作用于整个和式；应当从最外层的横线向里逐层处理。
- 停得太早。每做完一步，都要检查是否还有可以吸收的项，或者多余的共识项。
在模拟器中试一试
正确的化简得到的电路，其真值表与原电路完全相同。模拟器可以让你不必手工列表就验证这一点。
- 在编辑器中搭出某个例子的原始电路，例如 AB + AB + AB，带上它的输入和输出。
- 生成它的真值表并记下来。
- 在同一画布上用另一个输出，以相同的输入搭出化简后的版本（A + B）。
- 把输入切换成所有组合，观察两个输出是否始终一致。
- 让工具根据真值表给出化简后的表达式，并与你手算的结果比较。
练习
- 化简 F = AB + AB + AB。
答案
AB + AB = A。然后 A + AB = A + B（消因子律）。F = A + B = AB：这是一个 NAND 门。
- 化简 F = A + B。
答案
德摩根定理：A · B = AB。
- 化简 F = A(A + B) + B(B + C)。
答案
根据吸收律，A(A + B) = A，B(B + C) = B。F = A + B。
- 证明共识定理：AB + AC + BC = AB + AC。
答案
写出 BC = BC(A + A) = ABC + ABC。于是 AB + ABC = AB（吸收律），AC + ABC = AC（吸收律）。最后剩下 AB + AC。