Обучение › Тема 1

Логические элементы: NOT, AND, OR, NAND, NOR, XOR и XNOR

7 мин чтения · Команда bitGateLab

Вся цифровая электроника, от светофора до процессора, строится из нескольких блоков, которые принимают решения с помощью нулей и единиц, — из логических элементов. Здесь вы познакомитесь с семью базовыми элементами: как они изображаются на схемах, как записываются в булевой алгебре и какая у каждого таблица истинности. В конце вы увидите, почему из элементов одного-единственного типа, NAND или NOR, можно собрать все остальные.

Логические уровни: что означают 0 и 1

В цифровой схеме каждый сигнал может находиться только в одном из двух состояний. Низкое напряжение (близкое к 0 V) мы называем логическим 0, или «ложью», а высокое (близкое к напряжению питания, например 5 V или 3.3 V) — логической 1, или «истиной». Логический элемент получает один или несколько входных сигналов и выдаёт выходной, который зависит только от текущих значений на входах: элемент ничего не запоминает. Поэтому говорят, что логические элементы образуют комбинационную логику.

Самый полный способ описать логический элемент — его таблица истинности: перечень всех возможных комбинаций входов и значения выхода для каждой из них. При n входах существует 2ⁿ комбинаций, так что у двухвходового элемента 4 строки, а у трёхвходового — 8.

Три основных элемента

NOT (НЕ, инвертор)

У него всего один вход, а на выходе — противоположное значение: если на входе 0, на выходе 1, а если на входе 1, на выходе 0. Записывается это как Y = A (встречаются также обозначения A' и ¬A). Его символ — треугольник с кружком на вершине; этот кружок — общепринятый знак «здесь происходит инверсия».

AND (И)

Выход равен 1 только тогда, когда все входы равны 1. Записывается как произведение: Y = A·B или просто Y = AB. Представьте два выключателя, соединённых последовательно: лампа загорается, только если замкнуты оба.

OR (ИЛИ)

Выход равен 1, когда хотя бы один вход равен 1. Записывается как сумма: Y = A + B. Это то же самое, что два выключателя, соединённых параллельно. Внимание: в булевой алгебре 1 + 1 = 1, а не 2.

Производные элементы: NAND, NOR, XOR и XNOR

NAND (И-НЕ) — это AND, за которым стоит инвертор: Y = AB. Его выход равен 0 только тогда, когда все входы равны 1. NOR (ИЛИ-НЕ) — это инвертированный OR: Y = A + B; он равен 1 только тогда, когда все входы равны 0. На схемах у обоих на выходе нарисован кружок.

XOR (исключающее ИЛИ) равен 1, когда входы различаются: Y = A ⊕ B = AB + AB. Если входов больше двух, XOR равен 1 при нечётном количестве единиц, поэтому его используют для вычисления битов чётности. XNOR (исключающее ИЛИ-НЕ) — его дополнение, Y = A ⊕ B = AB + A B; он равен 1, когда входы одинаковы: это одноразрядный компаратор равенства.

Вот общая таблица истинности шести двухвходовых элементов:

NAND и NOR: универсальные элементы

Логический элемент называется универсальным, если из одних только его копий можно построить NOT, AND и OR, а значит, и любую логическую функцию. NAND и NOR этим свойством обладают. У этого есть практическое следствие: производитель может выпускать ячейки только одного типа и строить из них всё устройство, а вы можете собрать целую схему на единственной микросхеме семейства 74HC (например, в 74HC00 находятся четыре двухвходовых элемента NAND).

Всё на NAND

• NOT: соедините два входа элемента NAND. Если на оба подан A, то A·A = A.
• AND: NAND, за которым стоит NAND, включённый как инвертор: AB = AB.
• OR: инвертируйте каждый вход своим элементом NAND и объедините их третьим NAND: A·B = A + B (по теореме де Моргана).

Всё на NOR

• NOT: соедините входы элемента NOR: A + A = A.
• OR: NOR, за которым стоит NOR-инвертор.
• AND: инвертируйте каждый вход своим элементом NOR и объедините их ещё одним NOR: A + B = AB.

Типичные ошибки

• Считать, что в элементе OR 1 + 1 = 2. В булевой логике сумма «насыщается»: 1 + 1 = 1.
• Путать AB (NAND, одна черта над всем выражением) с A B (две отдельные черты, что равносильно NOR). От длины черты зависит результат.
• Думать, что трёхвходовый XOR равен 1, «когда только один вход равен 1». На самом деле он равен 1 при нечётном количестве единиц, а это включает и случай 1, 1, 1.
• Оставлять неподключёнными входы настоящей КМОП-микросхемы. «Висящий» вход может случайным образом читаться то как 0, то как 1; подключите его к земле или к питанию.

Попробуйте в симуляторе

Лучший способ запомнить эти таблицы — получить их самостоятельно. В редакторе схем можно поставить логический элемент, переключать его входы и сразу видеть выход; затем сравните результат с таблицей истинности, которую рассчитывает сам инструмент.

1. Поместите два входа, элемент NAND и выход и соедините их.
2. Переберите на входах все четыре комбинации и запишите выход для каждой.
3. Постройте таблицу истинности схемы и сравните её с таблицей из этой статьи.
4. Соберите XOR на четырёх NAND из примера и убедитесь, что его таблица совпадает с таблицей одиночного элемента XOR.
5. Если хотите перенести схему на виртуальную макетную плату, поставьте микросхему NAND семейства 74HC, подайте на неё питание и понаблюдайте за выходным светодиодом.

Упражнения

1. Составьте таблицу истинности для Y = A + B.
   Ответ

   Для AB = 00, 01, 10, 11 выход равен 1, 0, 1, 1. Он равен 0 только при A = 0 и B = 1.

2. Сколько строк в таблице истинности элемента AND с 4 входами и в скольких из них выход равен 1?
   Ответ

   2⁴ = 16 строк; выход равен 1 только в одной (1111).

3. Найдите выход трёхвходового элемента XOR при A = 1, B = 1, C = 1.
   Ответ

   1 ⊕ 1 = 0 и 0 ⊕ 1 = 1. Выход равен 1, потому что единиц три (нечётное количество).

4. Сколько элементов NOR нужно, как минимум при таком способе, чтобы получить двухвходовый AND?
   Ответ

   Три: два NOR, включённых как инверторы (один для A, другой для B), и третий NOR, на который подаются A и B; его выход равен A + B = AB.

Чтобы научиться преобразовывать и упрощать выражения с этими элементами, переходите к теме «булева алгебра».