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Álgebra de Boole: leyes, De Morgan y simplificación

Lectura de 7 min · Equipo bitGateLab

El álgebra de Boole es el lenguaje con el que se describen y se transforman los circuitos digitales. Cada expresión corresponde a un arreglo de compuertas, y cada ley que apliques para simplificarla se traduce en compuertas que te ahorras. Aquí vas a repasar los postulados, las leyes más útiles, los teoremas de De Morgan y cómo simplificar una expresión paso a paso, justificando cada movimiento.

Variables y operaciones

Una variable booleana solo toma los valores 0 y 1. Hay tres operaciones básicas: el complemento (A, compuerta NOT), el producto lógico (A·B o AB, compuerta AND) y la suma lógica (A + B, compuerta OR). Cuando no hay paréntesis, el orden de precedencia es: primero el complemento, luego el producto y al final la suma. Así, A + BC significa A + (B·C), igual que en el álgebra común.

Postulados

Todo el álgebra se apoya en unos cuantos postulados. Observa que vienen en pares: uno para la suma y otro para el producto.

Postulado	Forma con suma	Forma con producto
Elemento identidad	A + 0 = A	A · 1 = A
Conmutativo	A + B = B + A	AB = BA
Distributivo	A + BC = (A + B)(A + C)	A(B + C) = AB + AC
Complemento	A + A = 1	A · A = 0

Principio de dualidad: si una igualdad es cierta, también lo es la que obtienes al intercambiar + por ·, y 0 por 1 (sin tocar las variables ni sus barras). Por eso cada ley tiene una versión "gemela". Fíjate en la distributiva de la suma, A + BC = (A + B)(A + C): no existe en el álgebra de los números reales, pero aquí es perfectamente válida.

Leyes y teoremas útiles

De los postulados se deducen estas reglas, que son las que más vas a usar al simplificar:

Ley	Forma con suma	Forma con producto
Idempotencia	A + A = A	AA = A
Elemento nulo	A + 1 = 1	A · 0 = 0
Involución	A = A
Asociativa	A + (B + C) = (A + B) + C	A(BC) = (AB)C
Absorción	A + AB = A	A(A + B) = A
Absorción del complemento	A + AB = A + B	A(A + B) = AB
Adyacencia	AB + AB = A	(A + B)(A + B) = A
Consenso	AB + AC + BC = AB + AC	(A + B)(A + C)(B + C) = (A + B)(A + C)

Cualquiera de estas leyes se puede comprobar con una tabla de verdad: si las dos columnas coinciden en todos los renglones, la igualdad es cierta. Por ejemplo, para A + AB = A: con A = 0 ambos lados valen 0 sin importar B; con A = 1 ambos valen 1. La absorción del complemento se demuestra así: A + AB = (A + A)(A + B) = 1·(A + B) = A + B, usando la distributiva de la suma.

Teoremas de De Morgan

Estos dos teoremas te dicen cómo "romper" una barra larga:

A · B = A + B (el complemento de un producto es la suma de los complementos).
A + B = A · B (el complemento de una suma es el producto de los complementos).

La regla práctica: al partir la barra, cambia la operación que estaba debajo (· por + o + por ·) y niega cada término. Funciona con cualquier cantidad de variables: ABC = A + B + C.

A	B	AB	A + B	A + B	AB
0	0	1	1	1	1
0	1	1	1	0	0
1	0	1	1	0	0
1	1	0	0	0	0

En circuitos, De Morgan dice que una NAND equivale a una OR con burbujas en las entradas, y una NOR equivale a una AND con burbujas en las entradas. Es la base para convertir cualquier diseño a solo NAND o solo NOR, como se explica en compuertas lógicas.

Ejemplo 1: aplicar De Morgan. Simplifica F = AB + C.

La barra larga cubre una suma: AB + C = AB · C.
Rompe la barra del producto: AB = A + B.
Resultado: F = (A + B)C = AC + BC.

Comprobación con A = 1, B = 1, C = 0: el original da 1 + 0 = 0; el resultado da (0 + 0)·1 = 0. Con A = 0, B = 1, C = 0: original 0 + 0 = 1; resultado (1 + 0)·1 = 1.

Simplificación algebraica paso a paso

Simplificar es reducir el número de términos y de literales (cada aparición de una variable, negada o no). Menos literales significa menos entradas de compuerta. No hay un algoritmo único con álgebra pura; estas tácticas funcionan casi siempre:

Busca pares de términos que difieran en una sola variable y aplica adyacencia.
Saca factor común y busca un A + A = 1 escondido.
Si un término está contenido en otro, elimínalo por absorción.
Puedes duplicar un término (idempotencia) para combinarlo con dos vecinos distintos.

Ejemplo 2. Simplifica F = AB + AB + AB.

Factoriza los dos primeros: AB + AB = A(B + B) = A·1 = A.
Queda F = A + AB.
Absorción del complemento: A + AB = A + B.

F = A + B. Pasaste de tres compuertas AND, una OR de tres entradas y dos inversores a una sola OR.

Ejemplo 3: función de mayoría. Simplifica F = ABC + ABC + ABC + ABC.

Por idempotencia, ABC = ABC + ABC + ABC. Escribe tres copias para combinar cada una con un vecino.
ABC + ABC = BC(A + A) = BC.
ABC + ABC = AC(B + B) = AC.
ABC + ABC = AB(C + C) = AB.

F = AB + AC + BC. Vale 1 cuando al menos dos de las tres entradas valen 1: es un circuito de votación. Verás que es también la salida de acarreo del sumador completo.

Ejemplo 4: distributiva de la suma. Simplifica F = (A + B)(A + C).

Multiplica: AA + AC + AB + BC = A + AC + AB + BC.
Factoriza A: A(1 + C + B) + BC.
Elemento nulo: 1 + C + B = 1, así que queda A + BC.

Es justamente el postulado distributivo de la suma leído al revés.

Errores comunes

Aplicar De Morgan sin cambiar la operación: AB no es AB, es A + B.
"Cancelar" términos como en el álgebra común. En Boole no existen la resta ni la división: de A + B = A + C no se deduce que B = C.
Olvidar la precedencia: A + BC no es (A + B)C.
Romper solo una parte de una barra larga. La barra de AB + C afecta a toda la suma; trabaja de la barra más externa hacia adentro.
Detenerse demasiado pronto. Después de cada paso revisa si quedó algo absorbible o un término de consenso redundante.

Pruébalo en el simulador

Una simplificación correcta produce un circuito con exactamente la misma tabla de verdad que el original. El simulador te deja comprobarlo sin hacer la tabla a mano.

Arma en el editor el circuito original de un ejemplo, como AB + AB + AB, con sus entradas y su salida.
Genera su tabla de verdad y anótala.
En otra salida del mismo lienzo, arma la versión simplificada (A + B) con las mismas entradas.
Cambia las entradas por todas las combinaciones y observa que ambas salidas siempre coinciden.
Pide la expresión simplificada a partir de la tabla y compárala con la que obtuviste a mano.

Ejercicios

Simplifica F = AB + AB + AB.
Respuesta
AB + AB = A. Luego A + AB = A + B (absorción del complemento). F = A + B = AB: es una NAND.
Simplifica F = A + B.
Respuesta
De Morgan: A · B = AB.
Simplifica F = A(A + B) + B(B + C).
Respuesta
Por absorción, A(A + B) = A y B(B + C) = B. F = A + B.
Demuestra el teorema del consenso: AB + AC + BC = AB + AC.
Respuesta
Escribe BC = BC(A + A) = ABC + ABC. Entonces AB + ABC = AB (absorción) y AC + ABC = AC (absorción). Queda AB + AC.