学习 › 第 3 讲

真值表与标准形式：Σm 和 ΠM

阅读约 8 分钟 · bitGateLab 团队

几乎所有数字设计问题都从一段文字描述开始（“当……时警报响起”），然后把它转化成真值表。下一步，就是从这张表中得出一个可以用逻辑门实现的表达式。本文将带你学习完成这一步的系统方法：最小项和最大项，与或式和或与式这两种标准形式，以及教材、模拟器和卡诺图都在使用的 Σm 和 ΠM 简写记法。

真值表的排列顺序

n 个变量共有 2ⁿ 行。各行按二进制数递增的顺序书写，第一个变量作为最高位。这样，每一行都对应一个十进制编号：在 A、B、C 的真值表中，A = 1，B = 0，C = 1 这一行是 101₂ = 5。这个编号就是你要用作最小项或最大项下标的数，所以变量的顺序很重要：顺序一变，编号也跟着变。

最小项及与或式

最小项是一个包含全部变量的乘积项（AND），每个变量恰好出现一次，或者取反，或者不取反。它的写法是：在该行取值为 1 的变量不加横线，取值为 0 的变量加横线。最小项只在它自己那一行取值为 1，在其余各行都为 0。它记作 m_i，其中 i 是行号。

行号	A	B	C	最小项	最大项
0	0	0	0	m₀ = ABC	M₀ = A + B + C
1	0	0	1	m₁ = ABC	M₁ = A + B + C
2	0	1	0	m₂ = ABC	M₂ = A + B + C
3	0	1	1	m₃ = ABC	M₃ = A + B + C
4	1	0	0	m₄ = ABC	M₄ = A + B + C
5	1	0	1	m₅ = ABC	M₅ = A + B + C
6	1	1	0	m₆ = ABC	M₆ = A + B + C
7	1	1	1	m₇ = ABC	M₇ = A + B + C

如果把函数值为 1 的所有行对应的最小项加（OR）起来，就得到一个恰好在这些行上取值为 1 的表达式。这就是标准与或式（与或式又称“积之和”，英文缩写为 SOP），也叫第一标准形式。用简写记法写作 F = Σm(函数值为 1 的行号列表)。

最大项及或与式

最大项是一个包含全部变量的和项（OR）。规则正好相反：在该行取值为 0 的变量不加横线，取值为 1 的变量加横线。最大项只在它自己那一行取值为 0。它记作 M_i（M 大写）。

如果把函数值为 0 的所有行对应的最大项乘（AND）起来，就得到一个恰好在这些行上为 0、在其余各行为 1 的表达式：标准或与式（POS，即“和之积”），也叫第二标准形式。写作 F = ΠM(函数值为 0 的行号列表)。

同一行的最小项和最大项互为反：m_i = M_i。因此，只要知道一个函数的 Σm 列表，它的 ΠM 列表就由所有没有出现在其中的编号组成。

例 1：从真值表得到两种形式。一个三变量函数在第 1、3、6、7 行取值为 1。

#	A	B	C	F
0	0	0	0	0
1	0	0	1	1
2	0	1	0	0
3	0	1	1	1
4	1	0	0	0
5	1	0	1	0
6	1	1	0	1
7	1	1	1	1

简写记法：F = Σm(1, 3, 6, 7) = ΠM(0, 2, 4, 5)。
标准与或式：F = ABC + ABC + ABC + ABC。
标准或与式：F = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)。
化简 SOP：ABC + ABC = AC，ABC + ABC = AB。于是 F = AC + AB。

在第 5 行（A = 1，B = 0，C = 1）验证：AC = 0，AB = 0，所以 F = 0，与真值表一致。

选哪种形式更合适？

两种形式描述的是同一个函数，但长短不同。应选项数较少的那一种：如果函数中 1 很少，Σm 更短；如果 0 很少，ΠM 更短。对于 8 行的真值表，一个只有 2 个 1 的函数，其 SOP 有 2 项，而 POS 有 6 项。

实现方式也要考虑。与或式用若干 AND 门驱动一个 OR 门来实现，这种两级结构可以直接转换成 NAND-NAND 结构。或与式用若干 OR 门驱动一个 AND 门来实现，可以转换成 NOR-NOR 结构。

例 2：从文字描述到表达式。一个水箱装有三个液位传感器：A（低位）、B（中位）和 C（高位）。水面到达某个传感器时，该传感器输出 1。当出现物理上不可能的组合，即较高的传感器有效而较低的某个传感器无效时，“液位无效”指示灯应点亮。

有效组合（ABC）：000、100、110、111，也就是第 0、4、6、7 行。
指示灯在其余各行点亮：F = Σm(1, 2, 3, 5)。
等价写法：F = ΠM(0, 4, 6, 7)。
化简：m₁ + m₃ = AC，m₁ + m₅ = BC，m₂ + m₃ = AB。把 m₁ 和 m₃ 各用两次（重叠律），得 F = BC + AB。

检查：第 1 行（001）BC = 1；第 2 行（010）AB = 1；第 3 行（011）AB = 1；第 5 行（101）BC = 1。在 000、100、110 和 111 这几行，两项都为 0。这个结果可以读作“C 有效而 B 无效”或“B 有效而 A 无效”。

反函数

若 F = Σm(1, 3, 6, 7)，则它的反函数在 F 为 0 的地方取值为 1：F = Σm(0, 2, 4, 5)。当你想得到化简后的 POS 时这很有用：先把 F 作为与或式化简，再应用德摩根定理。例如，F = AC + AB（请用第 0、2、4、5 行验证），取反后得到 F = (A + C)(A + B)。如果把它乘开：AB + AC + BC，根据共识定理它等于 AB + AC，与例 1 的结果相同。

想深入了解这些变换，请复习布尔代数；想用图形方法化简，请继续学习卡诺图。

常见错误

把加横线的规则弄反：在最小项中是 0 对应加横线；在最大项中则是 1 对应加横线。
把函数值为 1 的行写进 ΠM。ΠM 列出的是 0 所在的行，Σm 列出的是 1 所在的行。
真值表和表达式中变量的顺序不一致。若按 C、B、A 的顺序，第“5”行就不再是原来那一行了。
在标准项中漏掉一个变量。四变量的最小项一定有四个文字；如果少于四个，说明它已经被化简过，不再是标准项。

在模拟器中试一试

真值表模块可以让你逐行输入一个函数，并立即看到它的标准形式和化简后的表达式，这样你就能核对手算的每一步。

新建一个三输入、一输出的真值表。
按例 1，把第 1、3、6、7 行标为 1，其余保持为 0。
观察生成的 Σm 和 ΠM 表达式，并与你自己写的比较。
把真值表转换成电路，改变输入，确认输出与真值表一致。
用水箱问题重复上述步骤，验证指示灯只在不可能出现的组合下点亮。

练习

写出四变量函数（变量为 A、B、C、D）的最小项 m₉ 和最大项 M₉。
答案
9 = 1001。m₉ = ABCD，M₉ = A + B + C + D。
若 F(A, B, C) = Σm(0, 1, 5)，请用 ΠM 记法写出 F。
答案
F = ΠM(2, 3, 4, 6, 7)。
一个两变量函数只在 A 和 B 相等时取值为 1，求它的标准与或式，能化简的话请化简。
答案
F = Σm(0, 3) = AB + AB。无法再化简：它就是 XNOR。
写出 F(A, B, C) = Σm(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) 的标准或与式。
答案
它只在第 0 行为 0，所以 F = ΠM(0) = A + B + C。只需一个三输入 OR 门。