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Tablas de verdad y formas canónicas: Σm y ΠM

Lectura de 8 min · Equipo bitGateLab

Casi todos los problemas de diseño digital empiezan con un enunciado en palabras ("la alarma suena si...") que se convierte en una tabla de verdad. El paso siguiente es sacar de esa tabla una ecuación que puedas construir con compuertas. Aquí vas a aprender el método sistemático para hacerlo: los minitérminos y maxitérminos, las formas canónicas de suma de productos y producto de sumas, y la notación compacta Σm y ΠM que usan los libros, los simuladores y los mapas de Karnaugh.

Cómo se ordena una tabla de verdad

Con n variables hay 2ⁿ renglones. Se escriben en orden binario ascendente, con la primera variable como bit más significativo. Así, cada renglón queda identificado por un número decimal: en una tabla de A, B y C, el renglón A = 1, B = 0, C = 1 es el 101₂ = 5. Ese número es el que vas a usar como índice de minitérmino o maxitérmino, así que el orden de las variables importa: si cambias el orden, cambian los números.

Minitérminos y suma de productos

Un minitérmino es un producto (AND) que contiene todas las variables, cada una una sola vez, negada o sin negar. Se arma así: la variable que vale 1 en ese renglón va sin barra y la que vale 0 va con barra. El minitérmino vale 1 únicamente en su renglón y 0 en todos los demás. Se nombra m_i, donde i es el número del renglón.

Renglón	A	B	C	Minitérmino	Maxitérmino
0	0	0	0	m₀ = ABC	M₀ = A + B + C
1	0	0	1	m₁ = ABC	M₁ = A + B + C
2	0	1	0	m₂ = ABC	M₂ = A + B + C
3	0	1	1	m₃ = ABC	M₃ = A + B + C
4	1	0	0	m₄ = ABC	M₄ = A + B + C
5	1	0	1	m₅ = ABC	M₅ = A + B + C
6	1	1	0	m₆ = ABC	M₆ = A + B + C
7	1	1	1	m₇ = ABC	M₇ = A + B + C

Si sumas (OR) los minitérminos de todos los renglones donde la función vale 1, obtienes una ecuación que vale 1 exactamente en esos renglones. Esa es la suma de productos canónica (SOP, por sus siglas en inglés) o primera forma canónica. En notación compacta se escribe F = Σm(lista de renglones con 1).

Maxitérminos y producto de sumas

Un maxitérmino es una suma (OR) que contiene todas las variables. La regla es la opuesta: la variable que vale 0 en el renglón va sin barra y la que vale 1 va con barra. Un maxitérmino vale 0 únicamente en su renglón. Se nombra M_i (con M mayúscula).

Si multiplicas (AND) los maxitérminos de todos los renglones donde la función vale 0, obtienes una ecuación que vale 0 justo ahí y 1 en el resto: el producto de sumas canónico (POS) o segunda forma canónica. Se escribe F = ΠM(lista de renglones con 0).

Minitérmino y maxitérmino del mismo renglón son complementos: m_i = M_i. Por eso, si conoces la lista Σm de una función, la lista ΠM está formada por todos los números que no aparecen en ella.

Ejemplo 1: de la tabla a las dos formas. Una función de tres variables vale 1 en los renglones 1, 3, 6 y 7.

#	A	B	C	F
0	0	0	0	0
1	0	0	1	1
2	0	1	0	0
3	0	1	1	1
4	1	0	0	0
5	1	0	1	0
6	1	1	0	1
7	1	1	1	1

Notación compacta: F = Σm(1, 3, 6, 7) = ΠM(0, 2, 4, 5).
Suma de productos canónica: F = ABC + ABC + ABC + ABC.
Producto de sumas canónico: F = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C).
Simplifica la SOP: ABC + ABC = AC y ABC + ABC = AB. Así, F = AC + AB.

Comprobación en el renglón 5 (A = 1, B = 0, C = 1): AC = 0 y AB = 0, así que F = 0, igual que en la tabla.

¿Cuál forma conviene?

Las dos formas describen la misma función, pero no tienen el mismo tamaño. Usa la que tenga menos términos: si la función tiene pocos unos, la Σm es más corta; si tiene pocos ceros, la ΠM es más corta. Con 8 renglones, una función con 2 unos tiene una SOP de 2 términos y una POS de 6.

También importa la implementación. Una suma de productos se arma con compuertas AND que alimentan una OR, y esa estructura de dos niveles se convierte directamente en NAND-NAND. Un producto de sumas se arma con OR que alimentan una AND, y se convierte en NOR-NOR.

Ejemplo 2: del enunciado a la ecuación. Un tanque tiene tres sensores de nivel: A (bajo), B (medio) y C (alto). Cada sensor da 1 cuando el agua lo alcanza. Una lámpara de "nivel no válido" debe encender cuando la combinación es físicamente imposible: un sensor alto activo con uno más bajo inactivo.

Combinaciones válidas (ABC): 000, 100, 110, 111. Es decir, renglones 0, 4, 6 y 7.
La lámpara enciende en los demás: F = Σm(1, 2, 3, 5).
Equivalente: F = ΠM(0, 4, 6, 7).
Simplifica: m₁ + m₃ = AC, m₁ + m₅ = BC, m₂ + m₃ = AB. Usando m₁ y m₃ dos veces (idempotencia), F = BC + AB.

Revisa: renglón 1 (001) da BC = 1; renglón 2 (010) da AB = 1; renglón 3 (011) da AB = 1; renglón 5 (101) da BC = 1. En 000, 100, 110 y 111 ambos términos valen 0. Se lee "C activo sin B" o "B activo sin A".

El complemento de una función

Si F = Σm(1, 3, 6, 7), su complemento vale 1 donde F vale 0: F = Σm(0, 2, 4, 5). Esto es útil cuando quieres la POS simplificada: simplificas F como suma de productos y luego aplicas De Morgan. Por ejemplo, F = AC + AB (compruébalo con los renglones 0, 2, 4 y 5), y al complementar queda F = (A + C)(A + B). Si multiplicas: AB + AC + BC, y por consenso eso es AB + AC, el mismo resultado del ejemplo 1.

Para profundizar en estas manipulaciones repasa álgebra de Boole; para simplificar de forma gráfica, sigue con mapas de Karnaugh.

Errores comunes

Invertir la regla de las barras: en minitérminos el 0 lleva barra; en maxitérminos es el 1 el que lleva barra.
Poner en ΠM los renglones donde la función vale 1. ΠM lista los ceros, Σm lista los unos.
Cambiar el orden de las variables entre la tabla y la ecuación. Con orden C, B, A el renglón "5" ya no es el mismo.
Olvidar una variable en un término canónico. Un minitérmino de cuatro variables siempre tiene cuatro literales; si tiene menos, ya está simplificado y no es canónico.

Pruébalo en el simulador

El módulo de tabla de verdad te permite capturar una función renglón por renglón y ver de inmediato sus formas canónicas y la ecuación simplificada, así que puedes revisar cada paso que hagas a mano.

Crea una tabla de tres entradas y una salida.
Marca con 1 los renglones 1, 3, 6 y 7 del ejemplo 1 y deja el resto en 0.
Observa las expresiones Σm y ΠM que se generan y compáralas con las tuyas.
Convierte la tabla a circuito y cambia las entradas para confirmar que la salida sigue la tabla.
Repite con el problema del tanque y verifica que la lámpara encienda solo en las combinaciones imposibles.

Ejercicios

Escribe el minitérmino m₉ y el maxitérmino M₉ de una función de cuatro variables A, B, C, D.
Respuesta
9 = 1001. m₉ = ABCD y M₉ = A + B + C + D.
Si F(A, B, C) = Σm(0, 1, 5), escribe F en notación ΠM.
Respuesta
F = ΠM(2, 3, 4, 6, 7).
Obtén la suma de productos canónica de una función de dos variables que vale 1 solo cuando A y B son iguales, y simplifícala si se puede.
Respuesta
F = Σm(0, 3) = AB + AB. No se reduce: es la XNOR.
Escribe el producto de sumas canónico de F(A, B, C) = Σm(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).
Respuesta
Solo vale 0 en el renglón 0, así que F = ΠM(0) = A + B + C. Una sola OR de tres entradas.