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Sistemi di numerazione: binario, ottale, esadecimale e codici

7 min di lettura · Team bitGateLab

Un circuito digitale capisce soltanto zeri e uni, ma tu hai bisogno di rappresentare quantità, segni, cifre di un display e posizioni di un encoder. Qui imparerai come funzionano i sistemi posizionali, a convertire tra decimale, binario, ottale ed esadecimale, a rappresentare i numeri negativi in complemento a 2 e a usare due codici molto comuni in elettronica: BCD e Gray.

Sistemi posizionali

In un sistema posizionale in base b, ogni cifra viene moltiplicata per una potenza di b secondo la sua posizione, contando da 0 a partire da destra. Il decimale 347 vale 3·10² + 4·10¹ + 7·10⁰. Lo stesso accade con le altre basi:

Binario (base 2): cifre 0 e 1, dette bit. Pesi 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128...
Ottale (base 8): cifre da 0 a 7. Ogni cifra ottale equivale a 3 bit.
Esadecimale (base 16): cifre da 0 a 9 e da A a F (A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15). Ogni cifra esadecimale equivale a 4 bit.

Per evitare confusione si indica la base con un pedice (1010₂, 17₈, 3F₁₆) oppure con un prefisso come 0b o 0x.

Conversioni tra basi

Da qualsiasi base a decimale

Moltiplica ogni cifra per il suo peso e somma. Per esempio, 2F3₁₆ = 2·256 + 15·16 + 3·1 = 512 + 240 + 3 = 755.

Da decimale a binario

Dividi ripetutamente per 2 e annota i resti; il numero binario si legge dal basso verso l'alto (l'ultimo resto è il bit più significativo). Un altro modo è sottrarre, una volta dopo l'altra, la più grande potenza di 2 che ci sta.

Tra binario, ottale ed esadecimale

Poiché 8 = 2³ e 16 = 2⁴, non occorre passare per il decimale: raggruppa i bit a 3 a 3 (ottale) o a 4 a 4 (esadecimale) partendo da destra, e completa con zeri a sinistra se necessario.

Esempio 1: convertire 156 in binario, ottale ed esadecimale.

Divisioni successive: 156/2 = 78 r 0; 78/2 = 39 r 0; 39/2 = 19 r 1; 19/2 = 9 r 1; 9/2 = 4 r 1; 4/2 = 2 r 0; 2/2 = 1 r 0; 1/2 = 0 r 1.
Leggendo i resti dal basso verso l'alto: 156 = 10011100₂. Verifica: 128 + 16 + 8 + 4 = 156.
Ottale: 10 011 100 → 010 011 100 → 2 3 4. Risultato 234₈ (2·64 + 3·8 + 4 = 156).
Esadecimale: 1001 1100 → 9 C. Risultato 9C₁₆ (9·16 + 12 = 156).

Numeri negativi: complemento a 2

Un registro a n bit non ha un posto per il segno "meno", perciò si adotta una convenzione. Quella usata praticamente da tutti i processori è il complemento a 2: il bit più significativo ha peso negativo, −2ⁿ⁻¹, e gli altri conservano il loro peso positivo. Con 8 bit l'intervallo va da −128 a +127; con 4 bit, da −8 a +7.

Per ottenere l'opposto di un numero:

Scrivi il numero positivo con tutti i suoi bit.
Inverti ogni bit (questo è il complemento a 1).
Somma 1.

Il vantaggio è enorme: la somma e la sottrazione si eseguono con lo stesso circuito sommatore, senza logica speciale per il segno. C'è un solo zero (00000000) e il bit più significativo indica direttamente se il numero è negativo.

Esempio 2: rappresentare −45 su 8 bit e calcolare 25 + (−12).

45 = 00101101. Invertendo: 11010010. Sommando 1: 11010011 = −45.
Verifica con i pesi: −128 + 64 + 16 + 2 + 1 = −45.
Ora 25 + (−12). 25 = 00011001; 12 = 00001100, invertito 11110011, più 1: 11110100 = −12.
Somma: 00011001 + 11110100 = 1 00001101. Il riporto che esce dal bit 8 si scarta.
Risultato: 00001101 = 13. Corretto.

Overflow: se sommi due numeri dello stesso segno e il risultato ha il segno opposto, il risultato non sta nei bit disponibili. Per esempio, su 8 bit 100 + 50 = 01100100 + 00110010 = 10010110, che in complemento a 2 vale −106 invece di 150. La somma di numeri di segno diverso non va mai in overflow.

Codice BCD

Nel BCD (decimale codificato in binario, versione 8421) ogni cifra decimale è rappresentata separatamente con 4 bit. Così 395 si scrive 0011 1001 0101. Non è la stessa cosa che convertire 395 in binario (110001011₂): il BCD usa più bit, ma ogni gruppo viene inviato direttamente a un decodificatore per display a 7 segmenti, senza divisioni. I codici da 1010 a 1111 non sono validi in BCD; in un progetto, queste combinazioni vengono di solito trattate come condizioni di indifferenza nelle mappe di Karnaugh.

Codice Gray

Nel codice Gray, tra un valore e il successivo cambia un solo bit. Nel binario ordinario, passare da 7 (0111) a 8 (1000) cambia tutti e quattro i bit contemporaneamente; se un sensore legge proprio durante la transizione, può vedere per un istante un qualsiasi valore intermedio. Con il Gray questo errore non si verifica, per questo lo si usa negli encoder di posizione, nei contatori che attraversano domini di clock diversi e nelle intestazioni delle mappe di Karnaugh.

Da binario a Gray: il bit più significativo si copia; ogni bit successivo è la XOR del bit binario corrispondente con il bit binario alla sua sinistra. In formula, g = b ⊕ (b spostato di un posto a destra).
Da Gray a binario: il bit più significativo si copia; ogni bit binario successivo è la XOR del bit binario appena ottenuto con il bit Gray di quella posizione.

Decimale	Binario	Gray	Decimale	Binario	Gray
0	0000	0000	8	1000	1100
1	0001	0001	9	1001	1101
2	0010	0011	10	1010	1111
3	0011	0010	11	1011	1110
4	0100	0110	12	1100	1010
5	0101	0111	13	1101	1011
6	0110	0101	14	1110	1001
7	0111	0100	15	1111	1000

Esempio 3: il binario 1011 in Gray e ritorno.

Copia il primo bit: 1.
1 ⊕ 0 = 1; 0 ⊕ 1 = 1; 1 ⊕ 1 = 0. Gray = 1110.
Al ritorno: copia il primo bit, b₃ = 1. Poi b₂ = 1 ⊕ 1 = 0, b₁ = 0 ⊕ 1 = 1, b₀ = 1 ⊕ 0 = 1. Binario = 1011.

Nella tabella, l'11 decimale compare con il Gray 1110: coincide.

Errori comuni

Raggruppare i bit per l'ottale o l'esadecimale partendo da sinistra. Si raggruppa sempre dal bit meno significativo.
Dimenticare il "+1" del complemento a 2. Invertire soltanto dà il complemento a 1, che ha due zeri e un intervallo diverso.
Interpretare 11010011 come 211 quando il registro è con segno. La stessa configurazione di bit vale 211 senza segno o −45 con segno: dipende dalla convenzione.
Confondere il BCD con il binario. Il 25 in BCD è 0010 0101, mentre in binario è 11001.
Convertire da Gray a binario facendo la XOR con il bit Gray vicino invece che con il bit binario appena calcolato.

Provalo nel simulatore

Puoi vedere queste rappresentazioni "dal vivo" con pochi ingressi e uscite, e verificare la conversione in Gray con le porte XOR.

Inserisci quattro ingressi come bit da b₃ a b₀ e collega un display o quattro LED per vedere il valore.
Aggiungi tre porte XOR: g₂ = b₃ ⊕ b₂, g₁ = b₂ ⊕ b₁, g₀ = b₁ ⊕ b₀, e collega b₃ direttamente a g₃.
Porta gli ingressi da 0000 a 1111 e osserva sulle uscite che tra un valore e il successivo cambia un solo bit Gray.
Genera la tabella di verità del circuito e confrontala con la tabella di questo articolo.

Esercizi

Converti 11010110₂ in esadecimale e in decimale.
Risposta
1101 0110 = D6₁₆ = 13·16 + 6 = 214.
Converti 200 in binario e in esadecimale.
Risposta
200 = 128 + 64 + 8 = 11001000₂ = C8₁₆.
Rappresenta −100 in complemento a 2 su 8 bit.
Risposta
100 = 01100100; invertito 10011011; più 1: 10011100. Verifica: −128 + 16 + 8 + 4 = −100.
Converti il decimale 6 in codice Gray a 4 bit e il BCD 0111 0010 in decimale.
Risposta
6 = 0110; Gray: 0, 0 ⊕ 1 = 1, 1 ⊕ 1 = 0, 1 ⊕ 0 = 1 → 0101. Il BCD 0111 0010 è 72.

Per vedere come un circuito somma e sottrae questi numeri, prosegui con i sommatori binari.