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数の表現：2 進数、8 進数、16 進数と各種コード

読了時間：約 7 分 · bitGateLab チーム

デジタル回路が理解できるのは 0 と 1 だけですが、私たちは数量、符号、表示器の数字、エンコーダの位置などを表現しなければなりません。この記事では、位取り記数法のしくみ、10 進数・2 進数・8 進数・16 進数の相互変換、2 の補数による負の数の表現、そして電子回路でよく使われる二つのコード、BCD とグレイコードを学びます。

位取り記数法

基数 b の位取り記数法では、各桁の数字に、その位置に応じた b のべき乗を掛けます。位置は右端を 0 として数えます。10 進数の 347 は 3·10² + 4·10¹ + 7·10⁰ です。ほかの基数でも同じです。

2 進数（基数 2）：数字は 0 と 1 で、ビットと呼びます。重みは 1、2、4、8、16、32、64、128… です。
8 進数（基数 8）：数字は 0 から 7 です。8 進数の 1 桁は 3 ビットに相当します。
16 進数（基数 16）：数字は 0 から 9 と A から F です（A = 10、B = 11、C = 12、D = 13、E = 14、F = 15）。16 進数の 1 桁は 4 ビットに相当します。

混同を避けるため、基数は添字（1010₂、17₈、3F₁₆）か、0b や 0x のような接頭辞で示します。

基数の変換

任意の基数から 10 進数へ

各桁の数字にその重みを掛けて、足し合わせます。たとえば 2F3₁₆ = 2·256 + 15·16 + 3·1 = 512 + 240 + 3 = 755 です。

10 進数から 2 進数へ

2 で繰り返し割り、余りを書き留めます。2 進数は下から上へ読みます（最後の余りが最上位ビットです）。別の方法として、引くことのできる最大の 2 のべき乗を引く操作を繰り返すこともできます。

2 進数、8 進数、16 進数の間の変換

8 = 2³、16 = 2⁴ なので、10 進数を経由する必要はありません。右端から 3 ビットずつ（8 進数）、または 4 ビットずつ（16 進数）に区切り、必要なら左側に 0 を補います。

例 1：156 を 2 進数、8 進数、16 進数に変換する。

割り算を繰り返します。156/2 = 78 余り 0、78/2 = 39 余り 0、39/2 = 19 余り 1、19/2 = 9 余り 1、9/2 = 4 余り 1、4/2 = 2 余り 0、2/2 = 1 余り 0、1/2 = 0 余り 1。
余りを下から上へ読むと、156 = 10011100₂ です。検算：128 + 16 + 8 + 4 = 156。
8 進数：10 011 100 → 010 011 100 → 2 3 4。結果は 234₈ です（2·64 + 3·8 + 4 = 156）。
16 進数：1001 1100 → 9 C。結果は 9C₁₆ です（9·16 + 12 = 156）。

負の数：2 の補数

ビット数が n のレジスタには「マイナス」記号を置く場所がないので、取り決めを使います。ほぼすべてのプロセッサで使われているのが 2 の補数です。最上位ビットが負の重み −2ⁿ⁻¹ を持ち、ほかのビットは正の重みのままです。8 ビットなら範囲は −128 から +127、4 ビットなら −8 から +7 です。

ある数の負の値を求めるには、次のようにします。

正の数を、すべてのビットを使って書きます。
各ビットを反転します（これが 1 の補数です）。
1 を足します。

この方式の利点はとても大きく、加算も減算も同じ加算回路で実行でき、符号のための特別な論理が要りません。ゼロは一つだけ（00000000）で、最上位ビットを見れば負の数かどうかがすぐにわかります。

例 2：−45 を 8 ビットで表し、25 + (−12) を計算する。

45 = 00101101。反転すると 11010010。1 を足すと 11010011 = −45。
重みで検算：−128 + 64 + 16 + 2 + 1 = −45。
次に 25 + (−12) です。25 = 00011001。12 = 00001100、反転して 11110011、1 を足して 11110100 = −12。
加算：00011001 + 11110100 = 1 00001101。ビット 8 から出るキャリーは捨てます。
結果：00001101 = 13。正しい答えです。

オーバーフロー：同じ符号の二つの数を足して、結果が逆の符号になったら、その結果は使えるビット数に収まっていません。たとえば 8 ビットでは 100 + 50 = 01100100 + 00110010 = 10010110 となり、これは 2 の補数では 150 ではなく −106 を表します。符号の異なる数どうしの加算では、オーバーフローは決して起こりません。

BCD コード

いわゆる BCD（2 進化 10 進数、8421 コード）では、10 進数の各桁を別々に 4 ビットで表します。たとえば 395 は 0011 1001 0101 と書きます。これは 395 を 2 進数に変換したもの（110001011₂）とは違います。BCD のほうがビットを多く使いますが、各グループを、割り算なしでそのまま 7 セグメント表示器のデコーダに送れます。コード 1010 から 1111 は BCD では無効です。設計では、これらの組み合わせはカルノー図でドントケア条件として扱うのが普通です。

グレイコード

もう一つのグレイコードでは、ある値から次の値に移るとき、1 ビットしか変化しません。通常の 2 進数では、7（0111）から 8（1000）に移るときに四つのビットが同時に変化します。ちょうどその切り替わりの瞬間にセンサが読み取ると、一瞬だけ、途中のどんな値でも見えてしまう可能性があります。グレイコードならこの誤りは起こりません。そのため、位置エンコーダ、異なるクロックの間をまたぐカウンタ、そしてカルノー図の見出しに使われます。

2 進数からグレイコードへ：最上位ビットはそのまま写します。それ以降の各ビットは、対応する 2 進ビットと、その左隣の 2 進ビットの XOR です。式で書くと、g = b ⊕ (b を右に 1 桁シフトしたもの)。
グレイコードから 2 進数へ：最上位ビットはそのまま写します。それ以降の各 2 進ビットは、直前に求めた 2 進ビットと、その位置のグレイビットの XOR です。

10 進	2 進	グレイ	10 進	2 進	グレイ
0	0000	0000	8	1000	1100
1	0001	0001	9	1001	1101
2	0010	0011	10	1010	1111
3	0011	0010	11	1011	1110
4	0100	0110	12	1100	1010
5	0101	0111	13	1101	1011
6	0110	0101	14	1110	1001
7	0111	0100	15	1111	1000

例 3：2 進数 1011 をグレイコードに変換し、元に戻す。

最初のビットを写します：1。
1 ⊕ 0 = 1、0 ⊕ 1 = 1、1 ⊕ 1 = 0。グレイコード = 1110。
元に戻します。最初のビットを写して b₃ = 1。続いて b₂ = 1 ⊕ 1 = 0、b₁ = 0 ⊕ 1 = 1、b₀ = 1 ⊕ 0 = 1。2 進数 = 1011。

表でも、10 進数の 11 はグレイコード 1110 になっていて、一致します。

よくある間違い

8 進数や 16 進数に変換するとき、左からビットを区切る。必ず最下位ビットから区切ります。
2 の補数の「+1」を忘れる。反転するだけでは 1 の補数になり、ゼロが二つあるうえ、範囲も変わります。
符号付きのレジスタなのに、11010011 を 211 と解釈する。同じビットパターンでも、符号なしなら 211、符号付きなら −45 です。どちらになるかは取り決め次第です。
BCD と 2 進数を混同する。25 は BCD では 0010 0101 ですが、2 進数では 11001 です。
グレイコードを 2 進数に変換するとき、直前に計算した 2 進ビットではなく、隣のグレイビットと XOR をとる。

シミュレータで試してみよう

入力と出力をいくつか使えば、これらの表現を「実際に動かして」確かめられます。グレイコードへの変換も XOR ゲートで確認できます。

入力を四つ置いてビット b₃〜b₀ とし、値を見るための表示器か LED 四つを接続します。
XOR ゲートを三つ追加します。g₂ = b₃ ⊕ b₂、g₁ = b₂ ⊕ b₁、g₀ = b₁ ⊕ b₀ とし、b₃ はそのまま g₃ につなぎます。
入力を 0000 から 1111 まで切り替え、ある値から次の値に移るときにグレイコードのビットが一つしか変化しないことを、出力で確かめます。
回路の真理値表を生成し、この記事の表と比べます。

練習問題

11010110₂ を 16 進数と 10 進数に変換してください。
解答
1101 0110 = D6₁₆ = 13·16 + 6 = 214。
200 を 2 進数と 16 進数に変換してください。
解答
200 = 128 + 64 + 8 = 11001000₂ = C8₁₆。
−100 を 8 ビットの 2 の補数で表してください。
解答
100 = 01100100。反転して 10011011。1 を足して 10011100。検算：−128 + 16 + 8 + 4 = −100。
10 進数の 6 を 4 ビットのグレイコードに変換し、BCD の 0111 0010 を 10 進数に変換してください。
解答
6 = 0110。グレイコード：0、0 ⊕ 1 = 1、1 ⊕ 1 = 0、1 ⊕ 0 = 1 → 0101。BCD の 0111 0010 は 72 です。

回路がこれらの数をどのように足したり引いたりするかは、2 進加算器で学びましょう。