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Mapas de Karnaugh de 2, 3 y 4 variables con condiciones X

Lectura de 7 min · Equipo bitGateLab

Simplificar con álgebra de Boole funciona, pero depende de que "veas" qué ley aplicar. El mapa de Karnaugh convierte esa búsqueda en un ejercicio visual: acomoda la tabla de verdad en una cuadrícula donde las celdas vecinas difieren en una sola variable, y simplificar se vuelve encerrar grupos de unos. Aquí vas a aprender a construir mapas de 2, 3 y 4 variables, a agrupar correctamente (incluidos los bordes que "dan la vuelta") y a aprovechar las condiciones "no importa".

La idea: celdas vecinas, una variable de diferencia

La ley de adyacencia dice que AB + AB = A: dos términos que difieren en una sola variable se fusionan y esa variable desaparece. El mapa de Karnaugh acomoda los minitérminos de manera que cualquier par de celdas que comparten un lado cumplan esa condición. Para lograrlo, los encabezados de filas y columnas no siguen el orden binario 00, 01, 10, 11, sino el código Gray: 00, 01, 11, 10. Entre dos valores consecutivos cambia solo un bit, y también entre el último y el primero (10 y 00). Por eso el mapa se comporta como si sus bordes opuestos estuvieran pegados.

Mapas de 2 y 3 variables

El mapa de dos variables tiene 4 celdas: A en las filas y B en las columnas. El de tres variables tiene 8 celdas: A en las filas y BC en las columnas, en orden Gray. El número dentro de cada celda indica el minitérmino que le corresponde:

Fíjate que m3 y m2 quedan en ese orden: es el efecto del código Gray, y la causa de muchos errores al llenar el mapa a mano.

Reglas de agrupación

• Los grupos solo pueden contener unos (o X, como verás más adelante), nunca ceros.
• El tamaño de cada grupo debe ser una potencia de 2: 1, 2, 4, 8 o 16 celdas.
• Los grupos son rectángulos de celdas adyacentes, incluyendo la adyacencia a través de los bordes. Las diagonales no cuentan.
• Haz cada grupo lo más grande posible: un grupo de 2^k celdas elimina k variables.
• Usa la menor cantidad de grupos que cubra todos los unos. Los grupos pueden traslaparse.

Para leer un grupo, revisa cada variable: si conserva el mismo valor en todas las celdas del grupo, aparece en el término (sin barra si vale 1, con barra si vale 0); si cambia, se elimina.

Mapa de 4 variables y adyacencia en los bordes

Con cuatro variables el mapa tiene 16 celdas: AB en las filas y CD en las columnas, ambos en orden Gray.

La columna izquierda es vecina de la derecha, y la fila superior es vecina de la inferior. En consecuencia, las cuatro esquinas (m0, m2, m8, m10) forman un grupo válido de 4 celdas: en todas B = 0 y D = 0, así que se leen como BD.

Condiciones "no importa" (X)

A veces ciertas combinaciones de entrada nunca ocurren, o su salida no tiene consecuencias. Por ejemplo, en un dígito BCD los códigos 1010 a 1111 no existen. En esos renglones se escribe una X (también llamada don't care) y se anota aparte como d(...). Al agrupar, cada X puede tomarse como 1 si te ayuda a formar un grupo más grande, o ignorarse si no. Nunca hace falta cubrir una X.

Errores comunes

• Ordenar los encabezados en binario (00, 01, 10, 11) en vez de Gray. El mapa deja de tener vecinos de una sola variable y los grupos salen mal.
• Formar grupos de 3 o 6 celdas. Solo valen potencias de 2.
• Olvidar la adyacencia de los bordes y de las cuatro esquinas, lo que deja grupos más pequeños de lo necesario.
• Agregar un grupo cuyas celdas ya están todas cubiertas por otros. Sobra y añade compuertas.
• Obligarte a cubrir las X. Solo se usan cuando agrandan un grupo.

Pruébalo en el simulador

El módulo de mapas de Karnaugh acomoda la función en orden Gray, marca los grupos y escribe la expresión mínima, así que puedes comparar tu agrupación con la que propone la herramienta.

1. Crea una función de cuatro variables y captura los unos del ejemplo 2.
2. Agrupa tú primero en papel y escribe tu resultado.
3. Observa los grupos que marca el mapa y la expresión resultante; si difiere de la tuya, revisa qué grupo no era máximo.
4. Captura el ejemplo 3 marcando como X las celdas 0, 2 y 5, y observa cómo cambia la simplificación al quitar esas X.
5. Convierte el resultado a circuito y cambia las entradas para confirmar que coincide con la tabla.

Ejercicios

1. Simplifica F(A, B, C) = Σm(0, 2, 4, 6).
   Respuesta

   Las columnas BC = 00 y BC = 10 son vecinas por el borde y están llenas. En las cuatro celdas C = 0: F = C.

2. Simplifica F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 5, 7, 8, 10, 13, 15).
   Respuesta

   Esquinas: BD. Bloque central m5, m7, m13, m15: BD. F = BD + BD, que es la XNOR de B y D.

3. Simplifica F(A, B, C, D) = Σm(4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15).
   Respuesta

   Las filas AB = 01 y AB = 11 forman un grupo de 8; solo B se mantiene en 1. F = B.

4. Un dígito BCD (A es el bit más significativo) debe encender una salida cuando vale 5 o más. Simplifica F = Σm(5, 6, 7, 8, 9) + d(10, 11, 12, 13, 14, 15).
   Respuesta

   Con las X, las filas AB = 11 y AB = 10 forman un grupo de 8: A. El bloque m5, m7, m13, m15 da BD y el bloque m6, m7, m14, m15 da BC. F = A + BD + BC = A + B(C + D).

Cuando hay más de cuatro o cinco variables el mapa se vuelve difícil de leer; para esos casos existe un procedimiento tabular, el método de Quine-McCluskey.