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多路复用器、译码器和编码器详解
阅读约 8 分钟 · bitGateLab 团队
中规模组合逻辑模块是搭建几乎任何数字系统的积木：多路复用器从多个数据中选出一个，多路分配器把一个数据送往某个目的地，译码器根据二进制数使唯一一条输出线有效，编码器则做相反的事。本文将介绍它们的表达式、真值表，以及每次考试都会出现的两种应用：用多路复用器实现逻辑函数，以及设计 7 段显示器的译码器。
多路复用器（MUX）
具有 2n 个数据输入的多路复用器（也叫数据选择器）有 n 个选择输入和一个输出。选择线上的二进制数指明哪一个数据输入被送到输出。最简单的是 2 选 1 MUX：
Y = S·I0 + S·I1
当 S = 0 时，输出等于 I0；当 S = 1 时，输出等于 I1。4 选 1 MUX 使用两条选择线 S1 S0，每个数据输入都与对应的选择最小项相乘：
Y = S1·S0·I0 + S1·S0·I1 + S1·S0·I2 + S1·S0·I3
| S1 | S0 | Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | I0 |
| 0 | 1 | I1 |
| 1 | 0 | I2 |
| 1 | 1 | I3 |
每一项都是数据输入与选择线（原变量或反变量）的 AND，所有项再汇合到一个 OR 门。
用 MUX 实现逻辑函数
由于 MUX 内部已经包含其选择变量的全部最小项，它可以充当“可编程函数”。用一个有 2n 个输入的 MUX，只要在每个数据输入端接 0 或 1，就能实现任意 n 变量函数。更妙的是：如果把多出来的那个变量（或它的反变量）接到数据输入端，同一个 MUX 还能实现 n + 1 个变量的函数。
例：用一个 4 选 1 MUX 实现 F(A, B, C) = Σm(1, 2, 6, 7)，以 A 和 B 作为选择信号（A = S1，B = S0）。
- 把真值表按 A B 取值相同的行两两分组，看 F 如何随 C 变化。
- AB = 00：m0 = 0（C = 0），m1 = 1（C = 1）。F = C，所以 I0 = C。
- AB = 01：m2 = 1（C = 0），m3 = 0（C = 1）。F = C，所以 I1 = C。
- AB = 10：m4 = 0，m5 = 0。I2 = 0。
- AB = 11：m6 = 1，m7 = 1。I3 = 1。
用 A = 0，B = 1，C = 0（最小项 2）验证：选择信号 01 选中 I1 = C = 1。正确，m2 属于该函数。
多路分配器和译码器
1 线-4 线多路分配器（DEMUX）接收一个数据 D，并根据 S1 S0 把它送到四个输出之一；其余输出保持为 0：Y0 = D·S1·S0，Y1 = D·S1·S0，Y2 = D·S1·S0，Y3 = D·S1·S0。
如果把 DEMUX 的 D 固定为 1 并把它称为“使能”端，就得到一个译码器：n 个输入、2n 个输出，其中只有一个输出有效，即与输入的数相对应的那一个。3 线-8 线译码器能产生三变量的全部 8 个最小项。所以任何三变量函数都可以用一个译码器加一个 OR 门来实现，由 OR 门把该函数各最小项对应的输出汇合起来。
例：用 3 线-8 线译码器实现全加器。输入为 A、B 和 Cin。
- 和 S = Σm(1, 2, 4, 7)：4 输入 OR 门，接输出 Y1、Y2、Y4、Y7。
- 进位 Cout = Σm(3, 5, 6, 7)：4 输入 OR 门，接 Y3、Y5、Y6、Y7。
检查一种情况：A = 1，B = 1，Cin = 0 对应的数是 110 = 6。只有 Y6 有效；Y6 不在 S 的 OR 门中（S = 0），但在 Cout 的 OR 门中（Cout = 1）。果然，1 + 1 + 0 的二进制结果是 10。
优先编码器
编码器执行相反的操作：在 2n 条输入线中，给出有效的那条线的 n 位二进制编号。问题是如果同时有两条线有效该怎么办；实用的解决办法是优先编码器，它给出编号最高的有效线的编号。对于 4 个输入 D3（优先级最高）到 D0：
Y1 = D3 + D2，Y0 = D3 + D2·D1，V = D3 + D2 + D1 + D0
输出 V（“有效”）表示至少有一个输入有效；没有它，你就无法区分“D0 有效”和“没有任何输入有效”，因为两种情况下都是 Y1 Y0 = 00。用 D2 = D1 = 1 试一下：Y1 = 1，Y0 = 0 + 0·1 = 0，即 10 = 2。D2 胜出，本该如此。
BCD-7 段显示译码器
7 段显示器（数码管）的每一段是一个 LED。译码器接收一位 BCD 码（A B C D，A 为最高位），并点亮组成该数字的各段。对于共阴极显示器，1 表示该段点亮：
| 数字 | ABCD | a | b | c | d | e | f | g |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0000 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0001 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0010 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 0011 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 4 | 0100 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 5 | 0101 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 6 | 0110 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 7 | 0111 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 8 | 1000 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 9 | 1001 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
1010 到 1111 这些代码不是有效的 BCD 码，所以在卡诺图中把它们当作无关项（X）处理。这会大大简化每一段的表达式。
a 段：只在数字 1 和 4 时为 0。在 4 变量卡诺图中，把 10 到 15 填上 X，最大的几个圈是：A（连同 X 共 8 格）、C（8 格）、B·D（最小项 5、7、13、15）和 B·D（四个角：0、2、8、10）。
a = A + C + B·D + B·D
验证数字 4（0100）：A = 0，C = 0，B·D = 1·0 = 0，B·D = 0·1 = 0。结果为 0：a 段熄灭，正确。
如果显示器是共阳极的，每一段要用 0 点亮，所以所有输出都要取反。
常见错误
- 把选择线的顺序接反：如果 S1 和 S0 接反了，输入 I1 和 I2 就会互换，函数也就错了。
- 忘了许多译码器的输出是低电平有效的，在应该用 NAND 门的地方用了 OR 门。
- 设计的编码器既没有优先级也没有“有效”输出，结果“D0 有效”和“没有输入有效”时都输出 00。
- 把共阴极的真值表用在共阳极显示器上：点亮的恰好是相反的那些段。
- 没有把 1010 到 1111 这些组合当作无关项加以利用，结果得到的表达式大了一倍。
在模拟器中试一试
把函数的真值表与用多路复用器实现的版本进行比较。
- 新建一个三输入 A、B、C 的真值表，在第 1、2、6、7 行标上 F = 1。
- 在编辑器中放置一个 4 选 1 多路复用器（或者用四个 AND 门、两个 NOT 门和一个四输入 OR 门搭出来），并把 A 和 B 接到选择端。
- 依次把 C、C 的反、固定的 0 和固定的 1 接到各数据输入端。
- 改变输入，遍历八种组合，观察输出与真值表一致。
- 对显示器的 a 段重复这一过程：把它那一列输入到 4 变量真值表中，把第 10 到 15 行标为 X，再查看卡诺图给出的圈。
练习
- 用 4 选 1 MUX 实现 F(A, B, C) = Σm(0, 3, 5, 6)，以 A 和 B 作为选择信号。
答案
AB = 00：m0 = 1，m1 = 0，I0 = C。AB = 01：m2 = 0，m3 = 1，I1 = C。AB = 10：m4 = 0，m5 = 1，I2 = C。AB = 11：m6 = 1，m7 = 0，I3 = C。这是偶校验函数（有偶数个 1 时输出 1）：F = A ⊕ B ⊕ C。
- 16 输入的 MUX 需要几条选择线？它所实现的函数最多可以有几个变量？
答案
4 条选择线（24 = 16）。把多出来的变量接到数据端，它可以实现任何不超过 5 个变量的函数。
- 把组合 10 到 15 当作无关项，求 e 段的表达式。
答案
e 在 0、2、6 和 8 时为 1。圈：B·D（0、2、8、10）和 C·D（2、6、10、14）。结果：e = B·D + C·D = D·(B + C)。
- 在 4 输入优先编码器中，D3 = 0，D2 = 0，D1 = 1，D0 = 1 时输出是什么？
答案
Y1 = 0 + 0 = 0，Y0 = 0 + 1·1 = 1，V = 1。输出为 01：D1 胜过 D0。