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Somadores binários: meio somador, completo e em cascata

Leitura de 8 min · Equipe bitGateLab

Somar é a operação mais importante de um computador: com ela se subtrai, se multiplica, se calculam endereços de memória e se contam eventos. Aqui você vai construir um somador do zero: primeiro o meio somador de um bit, depois o somador completo, que aceita um carry (o "vai-um"), em seguida o somador de vários bits em cascata e, por fim, como o mesmo circuito subtrai usando complemento de 2.

Somar em binário à mão

As regras para somar dois bits são quatro: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1 e 1 + 1 = 10₂, ou seja, 0 com carry de 1 para a coluna seguinte. Se, além disso, chega um carry, 1 + 1 + 1 = 11₂: resultado 1 e carry 1. Como em decimal, soma-se coluna por coluna, da direita para a esquerda, passando o carry para a esquerda.

Meio somador

O meio somador soma dois bits, A e B, e entrega duas saídas: a soma S e o carry C.

A coluna S é a tabela de uma XOR e a coluna C é a de uma AND. Portanto:

S = A ⊕ B    C = AB

Ele se chama "meio" porque não tem entrada para o carry que vem de uma coluna anterior, de modo que só serve para o bit menos significativo.

Somador completo

O somador completo soma três bits: A, B e o carry de entrada C_in. Entrega a soma S e o carry de saída C_out. Repare que o par (C_out, S) é, em binário, a quantidade de uns presentes nas entradas.

S vale 1 quando há uma quantidade ímpar de uns: S = Σm(1, 2, 4, 7) = A ⊕ B ⊕ C_in. C_out vale 1 quando há dois ou mais uns: C_out = Σm(3, 5, 6, 7), que, simplificada, é a função maioria:

C_out = AB + AC_in + BC_in

Se você tentar agrupar no mapa de Karnaugh de S, verá que nenhum 1 tem um vizinho com 1: é o padrão de tabuleiro de xadrez típico da XOR, que não se simplifica em soma de produtos.

Somador completo com dois meios somadores

Uma forma prática de montá-lo é encadear dois meios somadores e uma OR:

1. Primeiro meio somador: P = A ⊕ B e G = AB.
2. Segundo meio somador, com P e C_in: S = P ⊕ C_in e um carry parcial P·C_in.
3. C_out = G + P·C_in = AB + (A ⊕ B)C_in.

Essa expressão é equivalente à da maioria: se A e B valem 1, AB já gera o carry; se exatamente um deles vale 1, o carry depende de C_in. G é chamado de sinal de geração e P, de sinal de propagação.

Somador com carry em cascata

Para somar números de n bits, conectam-se n somadores completos em fila: o C_out de cada estágio entra como C_in do seguinte. O C_in do primeiro estágio é colocado em 0, e o C_out do último é o carry final. Essa estrutura é chamada de somador com carry em cascata ou ripple carry, porque o carry "se propaga" de estágio em estágio como uma onda. Na família 74HC existe um chip que contém quatro somadores completos já conectados assim (o 74HC283).

O custo é o tempo. O estágio 3 não pode dar o seu resultado definitivo até receber o carry do estágio 2, que por sua vez espera o do estágio 1. Se cada estágio leva dois níveis de porta para produzir o seu carry, um somador de n bits leva da ordem de 2n atrasos de porta no pior caso. Para 64 bits isso é lento demais; por isso os processadores usam somadores com carry antecipado, que calculam os carries em paralelo a partir dos sinais G e P. No cronograma do simulador você pode ver como as saídas mudam passo a passo até se estabilizarem.

Subtrair com o mesmo somador

Como se explica em sistemas de numeração, em complemento de 2 o negativo de B é B + 1. Então:

A − B = A + B + 1

Para obter isso, basta colocar uma XOR em cada bit de B, com a outra entrada conectada a uma linha de controle M, e conectar M também ao C_in do primeiro estágio. Com M = 0 as XOR deixam B passar e C_in = 0: o circuito soma. Com M = 1 as XOR invertem B e C_in = 1 fornece o "+1": o circuito subtrai.

Erros comuns

• Usar um meio somador nos estágios intermediários. Todo estágio que recebe um carry precisa de um somador completo.
• Deixar flutuando o C_in do primeiro estágio. Ele deve ir a 0 para somar, ou a M em um somador-subtrator.
• Confundir carry final com overflow. Em números com sinal, o carry final é descartado; o overflow é detectado com C₃ ⊕ C₄.
• Esquecer o "+1" ao subtrair e conectar apenas os inversores: o resultado sai uma unidade abaixo.
• Escrever S = A + B + C_in com OR. A soma de um bit é uma XOR, não uma OR.

Experimente no simulador

Montar um somador no editor é a melhor ponte entre as portas e a aritmética. Comece com um bit e vá crescendo até quatro.

1. Coloque duas entradas, uma XOR e uma AND, e conecte-as como no diagrama do meio somador. Gere a tabela-verdade dele.
2. Monte um somador completo com dois meios somadores e uma OR, e confira suas 8 linhas com a tabela deste artigo.
3. Copie o somador completo quatro vezes e encadeie os carries. Coloque o primeiro C_in em 0.
4. Mude as entradas para 1011 e 0110 e observe se a saída é 0001 com carry final 1.
5. Abra o cronograma, mude uma entrada que obrigue o carry a percorrer os quatro estágios (por exemplo 1111 + 0001) e observe como as saídas se estabilizam.

Exercícios

1. Calcule S e C_out de um somador completo com A = 1, B = 0, C_in = 1.
   Resposta

   Há dois uns: S = 0 e C_out = 1 (1 + 0 + 1 = 10₂).

2. Some 0111 + 0101 com um somador de 4 bits e indique os carries de cada estágio.
   Resposta

   Estágio 0: 1 + 1 = 0, carry 1. Estágio 1: 1 + 0 + 1 = 0, carry 1. Estágio 2: 1 + 1 + 1 = 1, carry 1. Estágio 3: 0 + 0 + 1 = 1, carry 0. Resultado 1100 = 12 (7 + 5).

3. Com um somador-subtrator de 4 bits, calcule 6 − 3 e escreva qual é o valor de M.
   Resposta

   M = 1. 0110 + 1100 + 1 = 1 0011. Descarta-se o carry: 0011 = 3.

4. Interpretando como números com sinal de 4 bits, há overflow em 0111 + 0101?
   Resposta

   Sim. 7 + 5 = 12 não cabe na faixa de −8 a +7. O resultado 1100 seria lido como −4. Os carries são C₃ = 1 e C₄ = 0, e V = 1 ⊕ 0 = 1.